So, Grüß Gott zusammen. Wir hatten letztes Mal angefangen, uns mit Verfahren zu Eigenwertproblemen

zu beschäftigen. Noch nicht so recht mit den Verfahren, sondern noch einmal mit der Frage

der stetigen Abhängigkeit von Eigenwerten und jetzt auch von Eigenvektoren von der Matrix

unter Störungen. Wir haben gesehen, dass das bei Eigenvektoren die Situation ein bisschen

anders ist, dass man da schon die Problematik mit berücksichtigen muss, dass man da keine

Aussagen treffen kann, wenn die Eigenwerte zu dicht beieinander liegen. Und wir wollen

jetzt mit dem aller einfachsten Verfahren, gibt es irgendeinen Grund zu dieser Unruhe?

Das Verfahren ist zwar einfach, aber so einfach ist es nun auch wiederum nicht, dass man sich

überhaupt nicht konzentrieren muss. Also das Verfahren heißt Potenzmethode. Und ja, das

ist im ersten Blick sehr einfach, aber hat durchaus einiges Potenzial und wird uns dann

letztendlich zu einem der Verfahren der Wahl, die man heute hat, dem sogenannten QR-Verfahren

führen. Das QR-Verfahren ist eines der in der Liste der zehn einflussreichsten Verfahren

des 20. Jahrhunderts genannten Verfahren. Das heißt also, dann können Sie wieder einen

Haken machen. Vielleicht schaffen wir es mal alle kennen zu lernen oder alle noch relevanten

kennen zu lernen. Also es geht nicht nur um die Potenzmethode, es geht insbesondere um

Weiterentwicklungen der Potenzmethode. Vielleicht, dass die Begrifflichkeit schon mal vorab

genannt wird. Was wir gleich einführen, ist die Potenzmethode, die klassische Potenzmethode

oder die einfache Potenzmethode. Da kann man dann auch noch ein bisschen differenzieren

zwischen der Potenzmethode und der praktischen Potenzmethode. Das wird darauf hinauslaufen,

dass die Folge der iterierten dann noch normiert werden wird. Und aus der Potenzmethode werden

wir die inverse Iteration ableiten. Und aus der inversen Iteration, das kann man aber

im Prinzip auch mit der Potenzmethode machen, die inverse Iteration mit Shift. Was das genau

bedeuten wird, werden wir dann sehen. Vielleicht sollte ich es in Deutsch schreiben, Shift.

Ein komisches Wort auf Deutsch. Das schreibt man vielleicht doch nicht so. Okay, also die

inverse Iteration mit Verschiebung. Und aus der inversen Iteration mit Verschiebung, dann

schließlich, und das ist schon ein sehr ordentliches Verfahren, das ist die sogenannte Role Iteration.

Das ist die eine Schiene. Die andere Schiene ist, und das kann man sozusagen dann mit all

diesen, man kann all diese, die Variante, die man dann hier weiter treiben kann, kann

man auch mit diesen Varianten weiter treiben. Das werden wir dann bei dem QR-Verfahren sehen.

Wir werden aus der Potenzmethode, die uns in ihrer Grundform eine Approximation liefert

für den Eigenvektor, oder für einen Eigenvektor zu einem ganz speziellen Eigenwert und auch

eine Approximation dieses Eigenwerts, werden wir die sogenannte simultane Iteration dann

herleiten können. Und dann sind wir schon relativ dicht dann irgendwann am QR-Verfahren.

Das QR-Verfahren bekommt dann ein eigenes Kapitel, das ist dann ein wirklich aktuelles

Verfahren, wie gesagt. So, was ist die Potenzmethode jetzt erstmal? Das ist denkbar einfach, was

man da macht. Wir brauchen erstmal ein bisschen Voraussetzungen. Wir setzen voraus, dass die

Matrix, für deren Eigenwerte wir uns interessieren, die quadratische Matrix A, können Sie vielleicht

die Tür oben zu machen, dass die quadratische Matrix A folgende Voraussetzungen hat, die

soll diagonalisierbar sein. Man kann diese Voraussetzungen auch vermeiden, aber ich

will das nicht so sehr jetzt auswalzen theoretisch, weil der nicht diagonalisierbare Fall ist

numerisch ein instabiler Fall. Den Fall mehrfacher Eigenwerte gibt es tatsächlich numerisch

nicht, weil wir eben, sobald wir Eigenwerte nicht exakt angeben können, ist eben jede

Störung eines einfachen Eigenwertes, mehrfachen Eigenwertes sind dann mehrere einfache Eigenwerte.

Insofern kann man immer sagen, wenn man numerisch rechnet, ist man immer im diagonalisierbaren

Fall. Das wäre eine Argumentation, aber man kann tatsächlich das alles verallgemeinern.

Man sieht dann auch, dass, wenn man sich, wir hatten uns ja die stetige Abhängigkeit

angeschaut und hatten gesehen, im nicht diagonalisierbaren Fall ist die zwar gegeben, kann aber sehr

schlecht werden und sie kann umso schlechter werden, je größer die Jordanblöcke, das

heißt also je größer die nicht diagonalisierbarkeit ist. Also man muss schon darauf gefasst sein,

dass das Konvergenzverhalten im nicht diagonalisierbaren Fall letztendlich schlechter wird, aber es